고조파(Harmonics)와 배음 평균율과 순정률
우리가 사는 이 세상의 어떤 신호든 우리는 파형으로 나타낼 수 있다. 그리고 이러한 파형은 주기적일 수도 있고 비주기적일수도 있는 어떤 고유한 형태를 이루고 있다. 이런 신호를 다루는 음악 분야가 일렉트로닉스, 신스(synth)다. 이 분야의 거장으로는 필자가 정말 좋아하는 daftpunk 가 있다. 또 billie eilish도 굉장히 이러한 요소들을 잘 다루는 뮤지션 중 하나다. 다음 동영상을 한번 보자
1. 동영상 감상
필자가 굉장히 좋아하는 동영상을 몇 개 가져왔다. 다음 동영상들을 한번 보자.
https://youtu.be/5AqHSvR9bqs?si=AnoVF04cx-14m7u3
다프트 펑크는 여러가지 음악에서 일정 부분을 '샘플링' 한 후 이를 빠르게 만들거나 느리게 만들어 새로운 음악을 만들어냈다.
다음은 필자가 정말 좋아하는 Dave wave라는 채널이다.
https://www.youtube.com/watch?v=qV10Gb-Dvao
https://www.youtube.com/watch?v=In23B9qZhI8
https://www.youtube.com/watch?v=n-k0NQ5lcSA
3개 동영상에 걸쳐 합성 음악을 통해 billie eilish의 bad guy음악을 어떻게 만들어낼 수 있는지를 보여주고 있다.
이런 멋진 음악들의 뒤에는 어떤 근본적인 이론들이 있을까? 이번시간에는 고조파와 배음, 그리고 황금율과 순정율에 대해 얘기해보고자 한다.
2. 고조파(Harmonics)와 배음
두 현상을 이해하기 위해서 먼저 의미를 정확하게 정의해야 한다. 먼저 고조파부터 이해해보자
2-1. 고조파(Harmonics)
고조파란? 어떤 주기를 가진 한 신호(기본 주파수)에 대해서 정수배를 가지는 다양한 신호들을 의미한다.
아래 동영상을 한번 보자
https://youtu.be/XOCGb5ZGEV8?si=yH6wQhXVfXptxGX5
이 동영상에서는 고조파 뿐만 아니라 공명 또는 공진(Resornance)라고 부르는 현상도 관측할 수 있다. 하나의 줄을 튕기자 나머지 줄들도 함께 진동하는 현상인데, 일단 공진 현상은 이 포스팅의 메인 주제가 아니므로 넘어가도록 하겠다.(관련은 있긴 하다)
하나의 스트링의 변화만 집중해서 보자. 어떻게 변화하는가? 처음에는 라면 면빨처럼 엄청 구불구불 하다가 점차 이러한 구배가 적어지면서 결국에는 원래의 평평한 스트링의 형태로 돌아오는 것을 볼 수 있다.
이 때 이 줄이 가질 수있는 형태들, 즉 줄의 처음부터 끝까지 길이는 정해져 있고, 그 안에서 줄이 진동할 수 있는 형태(주파수)는 오직 기본 주기(주파수)의 자연수 배수라는 말이다. 왜 그런지는 알 수 없다. 자연히 발생하는 현상인 것이다. 따라서 그냥 그런 현상이 있다고 우리는 받아들이는 수 밖에는 방법이 없다. 아래 그림을 한번 보자.
제일 위의 곡선이 기본 주파수다. 그 밑으로 갈수록 주기가 $ \begin{align} \frac{1}{n} \end{align} $ 로 줄어들고, 즉 이는 주파수가 n배씩 커진다는 말과 같다. (단 n은 자연수) 이 그림을 보고나서 위의 기타 스트링 동영상을 다시보면 어떤 의미인지 이해가 될 것이다.
자 위에서 고조파를 뭐라고 정의했는지 다시 보자.
고조파란? 어떤 주기를 가진 한 신호(기본 주파수)에 대해서 정수배를 가지는 다양한 신호들을 의미한다. 이를 약간 다르게 해석한다면 어떤 주기적인 신호는 어찌되었든 간에 정수 배수의 주파수밖에 가지지 못한다는 뜻과 동일하다. 예를 들자면 기본 주파수가 2Hz인 어떤 신호가 3Hz인 고조파를 가질수는 없다는 뜻이 된다.
그리고 이는 필자가 포스팅했던 푸리에 시리즈, 그리고 포스팅 할 푸리에 변환과도 연관지어 생각할 수 있다. 여러분들이 한번 생각 해 보기 바란다.
2-2. 배음
고조파랑 거의 동일한 의미이다. 배음이란 기본 주파수를 제외한 정수 배수의 주파수 신호들을 의미한다. 약간의 차이가 있는데 이는 다음과 같다.
1차 고조파 = 기본 주파수
2차 고조파 = 1차 배음
......
n차 고조파 = (n-1)차 배음 뭐 대충 이런 관계라고 설명할 수 있다.
고조파라는 개념은 주로 전자공학에서 많이 사용하고 배음 개념은 음악 분야에서 많이 사용한다고 생각하면 좋을 것이다.
필자는 전자공학을 사랑하므로 좀더 전자공학적으로 설명을 해 보았다.
3. 옥타브 그리고 평균율과 순정율
우리는 옥타브라는 용어를 굉장히 많이 사용한다. 어떤 가수의 노래가 몇 옥타브니, 내가 부를수 있는 제일 어려운 노래의 최고음이 몇 옥타브의 어떤 음이니 하는 식으로 말이다. 자 그럼 여기서 이 옥타브라는게 무엇이고 어떤게 구분짓는 것일까? 옥타브 얘기를 해보자.
옥타브란 어떤 한 음까지 주파수가 정확하게 두 배의 차이가 나는 어떤 음 까지 구간을 말한다. 쉽게 설명하자면 그냥 '도레미파솔라시도' 라고 할 수 있다. 중요한 것은 낮은 도와 높은 도의 주파수가 정확하게 두 배 차이가 난다고 정의한 것이다.
3-1. 평균율
평균율이라는 것은 한 옥타브 내에 존재하는 어떤 음들을 동일한 비율로 나누어 계산하는 방법을 의미한다. 현대 평균율은 A4 음을 기준으로 삼는데, 이 A4 음을 440Hz로 정의하고 있다. 단 완전히 고정된 값은 아니고 위아래로 조금씩 달라질 수는 있다고 생각해주면 좋겠다.
다르게 말해보자면 어떤 한 조성의 음계에서 주파수가 두배가되는 구간을 하나의 옥타브라고 정의한다 라고 이해하면 정확할 것이다. 여기서 평균율은 이 주파수 사이 간격을 아주 동일한 비율로 나눈것을 의미한다.
현대 음악에서 A3 ~ A4 까지 사이 구간에 몇 개의 음이 있는지 생각 해보면 된다. 자 한번 계산해보자
| 번호 | 음이름(A4 기준) | 음이름(상대음) | 계산 식(Hz) | 주파수(Hz) |
| 1 | A4 + 0 | A4 | $ 440 \cdot 2^{\frac{0}{12}} = 440 $ | 440 |
| 2 | A4 + 1 | A#4 | $ 440 \cdot 2^{\frac{1}{12}} = 466.16 $ | 466.16 |
| 3 | A4 + 2 | B4 | $ 440 \cdot 2^{\frac{2}{12}} = 493.88 $ | 493.88 |
| 4 | A4 + 3 | C5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{3}{12}} = 523.25 $ | 523.25 |
| 5 | A4 + 4 | C#5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{4}{12}} = 554.37 $ | 554.37 |
| 6 | A4 + 5 | D5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{5}{12}} = 587.33 $ | 587.33 |
| 7 | A4 + 6 | D#5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{6}{12}} = 622.25 $ | 622.25 |
| 8 | A4 + 7 | E5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{7}{12}} = 659.26 $ | 659.26 |
| 9 | A4 + 8 | F5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{8}{12}} = 698.46 $ | 698.46 |
| 10 | A4 + 9 | F#5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{9}{12}} = 739.99 $ | 739.99 |
| 11 | A4 + 10 | G5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{10}{12}} = 783.99 $ | 783.99 |
| 12 | A4 + 11 | G#5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{11}{12}} = 830.61 $ | 830.61 |
| 13 | A4 + 12 | A5 | $ 440 \cdot 2^{\frac{12}{12}} = 880 $ | 880 |
자 이러한 평균율을 사용하면 어떤 옥타브의 어떤 음계를 연주하건 동일한 느낌을 줄 수 있다. 따라서 어떤 한 조에서 다른 조로 조이동을 하여도 위화감이 없다는 장점도 동시에 생긴다. 또한 튜닝이 굉장히 간편해진다는 장점도 동시에 있다.
다만 특정 음에서는 음간이 비율이 깨져 불협화음처럼 들릴 수 있다는 단점 또한존재한다.
3-2. 순정률
순정률을 얘기하기 전에 기본적인 화성학 내용들을 좀 얘기해 봐야 할것 같다.(필자도 잘 아는건 아니지만) 초등학생 시절로 돌아가보자. 음악을 처음 배울 때 으뜸음, 딸림음, 버금딸림음 뭐 이런것들과 장3도, 단3도 이런 개념들을 배웠을 것이다. 이런 것들을 쌓아가는것이 바로 코드(chord)라고 하고 화성학과 굉장히 밀접한 관련이 있다.
예를 들어서 C 코드를 생각해보자. C 코드는 근음이 C(도)이고 그 위로 장 3음 단 3음이 쌓이는 메이저 스케일(장조) 코드를 의미한다. 즉. 쉽게 말하자면 그냥 '도미솔'이다.
자 한번 생각해보자. 위에서 처럼 A4 음을 440Hz라고 가정하고, 위에서 얘기했던 정수배수 주파수들을 고려해보면 다음과 같은 논리가 성립한다.
| 번호 | 음이름 | 배음 | 계산식(Hz) | 주파수(Hz) |
| 1 | A4 | 1배음 | $ 440 \cdot 1 = 440 $ | 440 |
| 2 | A5 | 2배음 | $ 440 \cdot 2 = 880 $ | 880 |
| 3 | ?? | 3배음 | $ 440 \cdot 3 = 1320 $ | 1320 |
| 4 | A6 | 4배음 | $ 440 \cdot 4 = 1760 $ | 1760 |
| 5 | ?? | 5배음 | $ 440 \cdot 5 = 2200 $ | 2200 |
| 6 | ?? | 6배음 | $ 440 \cdot 6 = 2640 $ | 2640 |
| 7 | ?? | 7배음 | $ 440 \cdot 7 = 3080 $ | 3080 |
| 8 | A7 | 8배음 | $ 440 \cdot 8 = 3520 $ | 3520 |
| 9 | A8 | 16배음 | $ 440 \cdot 16 = 7040 $ | 7040 |
| 10 | A9 | 32배음 | $ 440 \cdot 32 = 14080 $ | 14080 |
| 11 | A10 | 64배음 | $ 440 \cdot 64 = 28160 $ | 28160 |
| 12 | A11 | 128배음 | $ 440 \cdot 128 = 56320 $ | 56320 |
주파수가 2배로 커지는 구간을 하나의 옥타브로 정의했기 때문에 위 표와같이 각 정수배 되는 음들을 한 옥타브의 같은 음이라고 볼 수 있다. 그렇다면 물은표 친 배음들은 과연 어떤 음이 될까?
여기서 우리는 정말 간단한 산수를 이용할 수 있다. 모든 음의 2배수는 다음 옥타브의 어떤 한 음이 된다는 이 정의만 잘 이용하면 어렵지 않게 계산할 수 있는 것이다.
예를 들면, 1320Hz의 음은 A5와 A6 사이에 있는 어떤 음인데, 이를 2로 나누면 A4와 A5 사이에 있는 같은 음이 된다. 1320의 두 배인 2640Hz는 A6과 A7 사이의 같은 음이 된다.
이제 여러분은 어떤 규칙성을 발견할 수 있을 것이다. 이러한 논리를 확장해서 모든 음에 대해 계산하면 그 중간에 매칭되는 모든 음을 구할 수 있는 것이다. 즉 이러한 계산을 거친다면 각 음사이를 어떤 비율로 정의할 수가 있다. 바로 다음 표와 같이 말이다. 메이저 스케일은 주황색으로 표현했다.
| 번호 | 음이름(A4 기준) | 음이름(상대음) | 비율(A4 주파수 기준) | 주파수(Hz) |
| 1 | A4 + 0 | A4 | 1:1 | 440 |
| 2 | A4 + 1 | A#4 | 16:15 | 469.33 |
| 3 | A4 + 2 | B4 | 9:8 | 495 |
| 4 | A4 + 3 | C5 | 6:5 | 528 |
| 5 | A4 + 4 | C#5 | 5:4 | 550 |
| 6 | A4 + 5 | D5 | 4:3 | 586.66 |
| 7 | A4 + 6 | D#5 | 7:5 | 616 |
| 8 | A4 + 7 | E5 | 3:2 | 660 |
| 9 | A4 + 8 | F5 | 8:5 | 704 |
| 10 | A4 + 9 | F#5 | 5:3 | 733.33 |
| 11 | A4 + 10 | G5 | 9:5 | 792 |
| 12 | A4 + 11 | G#5 | 15:8 | 825 |
| 13 | A4 + 12 | A5 | 2:1 | 880 |
이렇게 순정률로 튜닝된다면 특정 몇 개 조성에서는 굉장히 조화로운 소리를 낸다는 장점이 있다. 하지만 조이동이 발생할 경우 음율이 잘 맞지않는 문제가 발생할 수 있다.
3-3. 평균율과 순정률 비교
자 그러면 평균율과 순정률을 모두 계산 해 보았으니 실제 주파수 값에 어떤 차이가 발생하는지 비교해보는게 순서가 되겠다.
| 번호 | 음이름(A4 기준) | 음이름(상대음) | 평균율 주파수(Hz) | 순정률 주파수(Hz) |
| 1 | A4 + 0 | A4 | 440 | 440 |
| 2 | A4 + 1 | A#4 | 466.16 | 469.33 |
| 3 | A4 + 2 | B4 | 493.88 | 495 |
| 4 | A4 + 3 | C5 | 523.25 | 528 |
| 5 | A4 + 4 | C#5 | 554.37 | 550 |
| 6 | A4 + 5 | D5 | 587.33 | 586.66 |
| 7 | A4 + 6 | D#5 | 622.25 | 616 |
| 8 | A4 + 7 | E5 | 659.26 | 660 |
| 9 | A4 + 8 | F5 | 698.46 | 704 |
| 10 | A4 + 9 | F#5 | 739.99 | 733.33 |
| 11 | A4 + 10 | G5 | 783.99 | 792 |
| 12 | A4 + 11 | G#5 | 830.61 | 825 |
| 13 | A4 + 12 | A5 | 880 | 880 |
이제 차이가 보이는가? 여기서 가장 중요한 것은 5도 화음 즉 E5 음의 주파수는 거의 차이가 없다는 것이다.
3-4. 들어보기
https://www.youtube.com/watch?v=bGKkA0tl9nk
굉장히 유용한 동영상이다. 아마도 화음 부분에서 약간의 차이가 느껴질 것이다.
3-5. 기타 조율 방법들, 그리고 바흐(bach)이야기
요한 세바스찬 바흐는 정말 뛰어난 음악가다.. 추후 업로드 예정