[electronics] 인덕터(lnductor)와 인덕턴스(lnductance)
지난 시간에는 커패시터를 소개했다. 이번시간에는 RLC 중 L 인덕터를 소개해보겠다. 인덕터는 코일과 코어의 구조로 되어있다. 쉽게 생각하면 금속 코어에 권선을 마구 감아놓은 형태다.
1. Lnductor란
다음 사진을 보라
사실 모양만으로 이것이 어떤 소자다 하고 구분짓기는 쉽지 않을때가 있다. 요즘 모든 소자들은 납작하고 네모나게 나오기때문에 MLCC는 단순히 보기만해서는 저항-인덕터와 구분되지 않으며 인덕터 또한 마찬가지다. 그러나 인덕터의 기본적인 형태가 왼쪽 사진처럼 코어에 코일을 둘둘 감아놓은 형태라는 것만 기억하면 된다.
2. Lnductor와 Lnductance
2-1. Lnductor의 특성
변화하는 자계의 영향을 받는 도체는 기전력이 생성되며 또 반대 같은 현상이 발생한다. 즉 전계가 변화하면 자기력이 나타나고, 자계가 변화하면 전기력이 나타난다. 이를 우리는 전자기유도 또는 패러데이 법칙이라 한다. 인덕터는 이런한 동작을 의도하였고, 이러한 특성을 가진다. 즉 둘둘 감긴 권선 사이로 자기력이 발생한다는 의미다.
2-2. Lnductance의 정의
* 본문에서는 솔레노이드 형태의 기본적인 인덕터에 대해 다룬다.
지난 시간에 우리가 capacitance를 정의했던 것 처럼 lnductance 또한 정의할 수 있다. 커패시턴스는 커패시터가 얼마나 전하를 많이 저장할 수 있는지를 표현하는 용량에 대한 계수였다. 인덕턴스는 인덕터가 얼마나 강한 자성을 유도하는지 나타내는 계수다. 다음과 같이 대전제를 세워보자
- 코일을 많이(촘촘하게) 감을수록(N) 내부에 생성되는 자기장이 강해질 것이다.
- 코어의 단면적 (A) 이(가) 커질수록 내부에 더 많은 자기장이 생성될 것이다.
- 코일의 길이(l)가 길어질수록 도선의 저항 때문에 내부의 전류 흐름이 방해받아 자속이 약해질 것이다.
- 코어 재료의 투자율($\mu$)에 의해 인덕턴스의 크기가 달라질 것이다.
그러면 우리는 인덕턴스(L) 에 대한 다음과 같은 비례식을 세워볼 수 있다.
$ \begin{align} L \propto N \cdot \mu \cdot \frac{A}{l} \end{align} $
그럼 패러데이 법칙을 생각해보자. 패러데이는 코일에 자석을 가까이하자 전류가 생성되는 것을 확인하고는 전기와 자기가 서로 연관되어있음을 알아냈다. 바로 아래 그림처럼 말이다.
이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
$ \begin{align} \varepsilon = \frac{\mathrm{d \Phi } }{\mathrm{d} t} \end{align} $
이후 렌츠는 자기장 또는 전기장이 움직이는 반대방향으로 유도기전력이 발생한다는 사실을 밝혀내 - 부호를 붙이게 되었다.
$ \begin{align} \varepsilon = -\frac{\mathrm{d \Phi } }{\mathrm{d} t} \end{align} $
위 식을 해석해보자면 다음과 같다
유도되는 기전력 $ \varepsilon $ 은 시간에 대한 자기선속(magnetic flux)의 변화량 $ \frac{\mathrm{d \Phi } }{\mathrm{d} t} $ 과 같고, 그 방향은 반대 방향 $-$ 이라는 것이다. 자기 선속은 자력의 세기 또는 자기(magnetic)를 뜻하며 이를 선으로 표현했을 때 얼마나 많은 선이 존재하는지를 나타내는 수치다.
인덕턴스에 대해서 다시 생각해보자. 인덕터는 꼭 전자기 유도에 사용되었던 실험장비의 축소판처럼 보인다. 그리고 실제 내부 코어 주위로 감긴 코일에 전류가 흐르면 자기력이 생성되는데, 그렇다면 인덕터의 고유한 특성 인덕턴스는 다음과 같이 정의할 수 있다.
$ \begin{align} L = \frac{\Phi}{I} \end{align} $
즉 전류가 흐를때 생성되는 자기선속의 세기의 비율을 의미한다. 다르게 말하자면 같은 전류(I)를 흘렸을때 더 강한 자기력($\Phi$)가 생성되면 인덕턴스가 크다는것과 같은 의미다.
이를 패러데이 법칙에 대입하면 다음 식 (1)이 된다.
$ \begin{align}
\varepsilon = -\frac{ \mathrm{d} \left ( L \cdot I \right ) }{ \mathrm{d} t }
= -L \cdot \frac{ \mathrm{d} I }{ \mathrm{d} t } \cdots \cdots (1)
\end{align} $
앙페르의 법칙에 의하면 전류(I)가 흐를때 생성되는 자속밀도(자기장의 세기, B)는 다음 식과 같다.
$ B = \mu \cdot n \cdot I $
이 때 n은 $ \frac{N}{l} $ 이며 N은 코일의 감은 수, l 은 코일의 길이로 단위길이당 감은 코일의 수를 의미한다.
자속밀도(magnetic flux density, $B$)는 단위면적 당 자기선속으로 표현할 수 있다. 즉 일정 면적에 자기력선이 몇개나 지나가는지를 통해 자기력의 세기를 나타낼 수 있다는 의미다. 아래 그림을 보자 같은 단위면적에 더 많은 자기력선(자기선속)이 지나가면 이는 자속밀도가 높다 라고 얘기할 수 있다. 또한 이는 자기력이 강하다 라는 말과 동치이다.
즉 $ B = \frac{\Phi}{A} $ 로 쓸 수 있으며 이때 A는 단위 면적이다.
그렇다면 다시 페러데이 법칙으로 돌아가보자. 이제 우리는 페러데이 법칙을 이렇게 다시 쓸 수 있다.
$ \begin{align}
\varepsilon = -\frac{ \mathrm{d} \left ( NAB \right ) }{ \mathrm{d} t }
= -\frac{ \mu \cdot N^2 \cdot A }{l} \cdot \frac{ \mathrm{d} I }{ \mathrm{d} t} \cdots \cdots(2)
\end{align} $
이 때 N 은 코일의 감은 수다. 즉 유도 기전력은 코일의 감은 수와 단면적 크기에 비례한다는 뜻이다. 식 (2)의 좌변에 식 (1)을 대입하면 다음 결과를 얻을 수 있고
$ \begin{align} -L \cdot \frac{ \mathrm{d} I }{ \mathrm{d} t }
= -\frac{ \mu \cdot N^2 \cdot A }{l} \cdot \frac{ \mathrm{d} I }{ \mathrm{d} t}
\end{align} $
이를 L에 대해 정리하면 다음 식 (3)을 얻을 수 있다. 그리고 이 식 (3)은 앞에서 우리가 유도했던 비례식과 매우 유사한 것을 알 수 있다.
$ \begin{align} L = \mu \cdot N^2 \cdot \frac{ A }{l} \cdots \cdots (3) \end{align} $
그리고 앞서 정리했던 패러데이 법칙에서 기전력 $ \varepsilon $은 전압으로 표현할 수 있다.
$ \begin{align} v(t) = L \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } \end{align} $
따라서 인덕터 소자에 대해서는 위 식으로 전압과 전류 사이 관계를 알 수 있다.
3. DC 회로에서의 Lnductor
3-1. Lnductor in formula
자 커패시터때와 같이 간단한 RL 회로를 생각해보자.
소스전압 Vs 에 걸리는 전압과 R과 L에 걸리는 전압의 총합은 같아야한다. 즉
$ V_s = V_R + V_L \cdots \cdots (1) $
이며 이는 다시 다음과 같이 정리할 수 있다.
$ \begin{align}
V_s = i(t) \cdot R + L \cdot \frac{ \mathrm{d}i(t) }{ \mathrm{d} t } \cdots \cdots (2)
\end{align} $
식 (2)의 양 변을 시간에대해 미분하면
$ \begin{align}
\frac{ \mathrm{d} V_s }{ \mathrm{d} t }
= R \cdot \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } + L \cdot \frac{ \mathrm{d^2}i(t) }{ \mathrm{d} t^2 } \cdots \cdots (3)
\end{align} $
역시 이상적인 DC 회로에서 시간에대한 전압의 변화량은 0이므로 식 (3)의 좌변은 0이되고 식을 옮겨주면
$ \begin{align} \frac{ \mathrm{d^2}i(t) }{ \mathrm{d} t^2 } + \frac{R}{L} \cdot \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t }
= 0 \cdots \cdots (4)
\end{align} $
로 표현할 수 있으며 $ \tau \equiv \frac{L}{R} $ 로 정의하면 식 (5)가 되며, 이는 2계 제차 미분방정식이다.
$ \begin{align}
\frac{ \mathrm{d^2}i(t) }{ \mathrm{d} t^2 } + \frac{1}{\tau} \cdot \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t }
= 0 \cdots \cdots (5)
\end{align}$
식 (5)에서 $\begin{align} \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } = D \end{align} $ 로 치환하면 식 (5)는 식 (6)으로 볼 수 있으며
$ \begin{align} D( D + \frac{1}{\tau} \cdot D ) = 0 \cdots \cdots (6) \end{align} $
이때 D의 해는 $ \begin{align} D = 0 or D = -\frac{1}{\tau} \end{align} $ 로 볼 수 있다.
2계 제차 미분방정식의 해는 $ \begin{align} i(t) = c_1 \cdot e^{\lambda_1 t} + c_2 \cdot e^{\lambda_2 t} \end{align} $ 형태로 구해진다.
$ \lambda_1과 \lambda_2 $에 각 해를 대입하면 최종적으로 다음 식 (7)을 얻을 수 있다.
$ \begin{align} i(t) = c_1 + c_2 \cdot e^{ -\frac{t}{\tau} } \cdots \cdots (7) \end{align} $
식 (7)에 대해 극한을 생각해보자.
$ \begin{align} \lim_{ t \to \infty} i(t) &= c_1 = i_s \\ \lim_{ t \to 0} i(t) &= c_1 + c_2 = i_s + c_2 = i_0 \end{align} $
이를 식 (7)에 대입하면 식 8을 얻을 수 있다.
$ \begin{align} i(t) = i_s + (i_0 - i_s) \cdot e^{ -\frac{t}{\tau} } \cdots \cdots (8) \end{align} $
이 때 i_0 은 0 이므로(t=0일때 회로의 전류값은 0이다) 식 (9)을 얻을 수 있고
RL 회로에서 인덕터의 동작을 해석할 수 있다.
$ \begin{align} \therefore i(t) = i_s( 1 - e^{ -\frac{t}{\tau} } ) \cdots \cdots (9) \end{align} $
3-2. DC RL 회로에서 전압과 전류의 동작
다시 전압을 생각해보자
$ \begin{align} V_R = R \cdot i(t) = R * \cdot i_s ( 1 - e^{\frac{t}{\tau}} ) \end{align} $
$ \begin{align} V_L = V_S - V_R = V_S - R \cdot i_s ( 1 - e^{ \frac{t}{\tau} } ) \end{align} $
이는 t가 매우 작은 값일때 전류가 흐르면서 인덕터에 걸리는 전압이 최대가 된다.(전자기 유도, 흐름을 방해하는 성질) 그러나 t가 증가함에 따라서 인덕터에 인가되는 전압이 점차 0으로 감소한다.
$ v(t) = -L \cdot \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } + R \cdot i(t) $ 일 때 초기 전원이 인가되면 전류 흐름이 급격하게 변화하고, 인덕터에는 최대 전압($V_S$)이 역방향으로 인가되며, 인덕터에 인가되는 전압이 점차 줄어들면서 회로에 흐르는 전류량이 점차 정상상태까지 증가한다. 기전력의 정의에 의해 초기에 인덕터에 인가되는 전압은 무한대까지 상승하며 이는 소스 전압 $V_s$ 에 근접함을 알 수 있다.
4. AC 회로에서의 Lnductor
4-1. Lnductive Reactance
커패시터와 마찬가지로 인덕터에 대해 주파수 성분을 생각해보자. 인덕터에 대해 전압과 전류의 관계는 다음 식과 같다고 위에서 설명했다.
$ \begin{align} v(t) = L \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } \end{align} $
커패시터와 반대로 식을 놓아보자.
$ \begin{align} \frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t } = \frac{1}{L} \cdot v(t) \cdots \cdots (10) \end{align} $
교류 회로에서는 전압 또한 정현파 형태로 나타난다. 즉 전압 $v(t)$ 는 아래와 같이 표현할 수 있다. 이를 식 (10)에 대입하면
$ v(t) = V_m \cdot sin( \omega t) $
$ \begin{align}
\frac{ \mathrm{d} i(t) }{ \mathrm{d} t }
= \frac{1}{L} \cdot V_m \cdot sin( \omega t) \cdots \cdots (11)
\end{align} $
식 (11)에서 양 변을 시간(t) 에 대해 적분하면 다음 결과를 얻을 수 있다.
$ \begin{align} i(t) = -\frac{1}{ \omega L} \cdot V_m \cdot cos( \omega t) \cdots \cdots (12) \end{align} $
삼각함수의 성질에 의해 cos 함수는 sin 함수보다 위상이 90도 앞서있기에 다음과 같으며
$ \begin{align} i(t) = -\frac{1}{ \omega L} \cdot V_m \cdot sin( \omega t - \frac{\pi}{2} ) \cdots \cdots (13) \end{align} $
이는 허수 j 로 표현이 가능하다. 즉
$ \begin{align}
i(t) = -\frac{j}{ \omega L} \cdot V_m \cdot sin( \omega t )
= \frac{1}{ j \omega L} \cdot V_m \cdot sin( \omega t ) \cdots \cdots (13)
\end{align} $
이전 포스팅에서 우리는 교류 회로에서 capacitive reactance 를 다음과 같이 얻을 수 있었다.
$ \begin{align} \frac{v(t)}{i(t)} = \frac{1}{ j \omega C } \end{align} $
마찬가지로 위 식(13)을 전압 $v(t)$과 전류$i(t)$에 대해 정리하면 다음 식 (14)가 된다.
$ \begin{align} \frac{v(t)}{i(t)} = j \omega L \cdots \cdots (14) \end{align} $
우리는 교류회로에서 인덕터의 lnductive reactance 를 구해냈다!
위 식은 다음과 같이 해석할 수 있다.
- 교류회로에서 인덕터의 성질은 $ \omega L $ 이라는 유도성 리액턴스(lnductive reactance) 로 나타난다.
- 인덕터가 있는 교류 회로에서는 전류의 위상보다 전압의 위상이 앞선다.
- 특히 이상적인 RL 회로에서는 전압의 위상이 전류의 위상보다 j(90도, $\frac{\pi}{2}$) 만큼 앞선다.
4-2. 저항과 임피던스와 리액턴스
이상적인 DC 회로에서는 주파수성분이 없다. 회로에 전압이 가해졌을때 전류의 흐름을 방해하는 성질을 온전하게 저항(R) 로만 표현했다. 즉 주파수 성분에 의해 나타나는 특성들을 고려하지 않아도 되었다.
하지만, 교류 회로에서는 이 주파수라는 성질 때문에 위상(phase)개념이 생겨났다. 따라서 이전에 우리가 단순하게 R 로만 표현했던 저항을 이제는 임피던스 라 표현하고 Z라고 나타낸다.
즉 교류 회로에서 임피던스 Z 는 다음과 같이 쓸 수 있다는 말이다.
$ \begin{align} Z = R + \frac{1}{j \omega C} + j \omega L \end{align} $
한번 잘 생각해보자. $ \omega $ 는 각주파수를 의미한다 즉 $ \omega = 2 \pi f = \frac{ 2 \pi }{T} $ 이다. 이 식을 다르게 표현하면 $ \frac{360}{T} $ 와 같다. 즉 단위시간(1초) 마다 회전하는 각도를 의미한다. 그리고 주파수의 정의에 의해 $ f = \frac{1}{T} $ 이다.
자 그럼 다시 임피던스 식을 생각해보자. 임피던스의 reactance에는 $ \omega $ 라는 주파수 성분이 들어있다. 즉 주파수의 영향을 받는다는 의미다.
만약 주파수가 커질때를 생각해보자. 그러면 capacitive reactance 에는 주파수 성분이 분모에 있으므로 저항 성분이 거의 사라질 것이다. 즉 High pass filter 의 특징을 가지게 된다.
반대로 주파수가 낮아지면 lnductive reactance 의 저항 성분이 작아지며 이는 Low pass filter 의 특징을 가지게 된다.
그리고 이러한 특징들은 다음 필자가 얘기하고싶어 포스팅 두 개에 거쳐 빌드업한 RLC 공진(resornance)의 특성에 지대한 영향을 미친다.
5. 마치며
회로 공부가 어려운 학생들에게 도움이 되었으면 좋겠네요. 최대한 쉽게 정리해보려고 하는데, 비전공자들은 아무래도 쉽지않겠죠?