[electronics] 교류&임피던스와 RLC 공진
커패시터와 인덕터 글을 포스팅 하면서 교류와 임피던스에 관해 짧게 얘기했었다. 이번 장에서는 좀더 자세하게 설명하면서 RLC 공진에 대해서 얘기해보고자 한다.
1. 교류(Alternating Current) 는 왜 사용할까
교류라는 것은 시간이 흐름에 따라 '주기적으로' 극성(위상)이 변하는 전기 또는 신호를 말한다. 즉 시간이 흐름에 따라서 + 극과 -극을 왔다리 갔다리 한다는 의미다. 전기를 놓고 보았을 때 교류를 사용하는 이유는 발전소의 발전기 형태, 그리고 승압과 감압의 용이성 그리고 전력 손실의 감소 등 다양한 이유가 있기 떄문이다.
발전소에서 생산된 전기를 전국으로 뿌려줘야 하는데, 이때 전기가 전선을 타고 흐르면서 필연적으로 손실이 발생한다. 하지만 전압이 높을수록 손실이 감소하기 때문에 고전압으로 승압하는 과정을 거친다.
전력(P) 은 류와 전압의 곱으로 표현할 수 있다.
$ P = IV $
전류는 도선이라는 매질을 타고 흐르는데, 이 도선이 만약 열역학적으로 아주 ideal 한상태라면 (모든 원자들이 순수한 원소로 구성되어 아무런 결함 없이 단결정 성장을 한다면) 저항이 0에 가까우며 따라서 전자들이 이동하는데 방해를 받지 않을 것이다. 하지만, 실제 현실세계의 물질들은 자연스럽게 Disorder 가 발생하고 전자가 흐르면서 이런 Disorder나 Defect에 충돌하게 된다. 그러면서 열이 발생하고 이 열이라는 아주 쓸모없는 형태로 에너지의 손실이 일어나게 된다.
즉 $ I \propto Q $ 라는 비례식이 성립한다(Q는 열이다). 여기에 우리가 너무나도 잘 아는 $ V=IR $ 공식을 대입해보자.
$ P = I \cdot IR $
따라서 전력은 $ I^2 $ 에 비례하고 이는 전류의 제곱만큼 열이 발생한다는 의미와 같다. 그런데 전력에서 전류와 전압은 반비례 관계다. 즉 같은 전력일때 전압을 높이면 전류가 줄어들고 따라서 발생하는 열을 줄여 손실을 줄일수 있다는 의미가 된다.
고전압이 우리에게 필요한 이유가 바로 여기에 있다. 그래서 낮은 전압을 가진 전기를 승압할 필요가 있는데, 이 직류 전기는 변압이 쉽지않다. 따라서 변압에 용이한 교류 형태의 전기를 사용하는 것이다.
발전소에서 승압된 초고전압은 절연파괴 특성으로 인해서 매우 위험하기 때문에 우리에게 오기 전에 여러 중간 변전소나 변압기를 거쳐 우리에게 공급된다. 아래 사진들이 바로 이러한 감압을 수행하는 변압기들이다.
최종적으로 전봇대의 저 변압기를 거쳐 우리에게 220V - 60Hz 라는 교류 형태의 전기가 공급이되고, 우리는 이 전기를 다시 직류로 변환해 사용한다. 이 직류 변압 장치는 각 가전제품속에 간단한 회로로 구성되어 있다.
여담으로 여러분들은 110V 를 사용해 보았는가? 필자는 어린시절 110V를 사용 했었다. 그러다가 220V가 점진적으로 보급되었는데, 110V와 220V가 혼재하던 시절 '도란스' 라는 물건이 있었다. 220V를 110V 로 감압시켜주는 변압기(transformer)가 바로 이 도란스였다. 110V 를 사용하던 가전 제품들이 많았기 때문이다.
아무튼 교류 전기란 이런 용도로 사용이 된다. 그리고 이 교류 전기의 기본적인 형태는 아래 그림의 alternating 파형 처럼 시간에 대해서 주기적인 움직임을 보인다. 여기서 '주기적' 이라는 의미는 일정 시간 마다 같은 형태를 보인다는 의미다. 우리가 잘 아는 sin 또는 cos 과 같은 주기 함수와 같은 모양을 가지고 있다.
그리고 이러한 특징을 우리는 '주파수' 라 부르고 기호로 f라 쓴다. 주파수 라는 것은 시간의 역수이다. 예를 들어보자 60Hz 는 1초에 60번 진동한다는 의미다. 즉 $ 60 Hz = \frac{1}{60} \approx 0.0167 초 $ 이며 약 0.0167초 마다 한번의 주기가 완료된다(한번 진동한다) 라는 뜻이된다.
필자가 너무 심심해서 1초에 2 번씩 책상을 두드린다고 가정하자. 그렇다면 이 행위의 주파수는 2Hz가 되고, 주기는 주파수의 역수로 0.5초에 한번 이다. 만약 1초에 10 번 두드리면 10Hz 이며, 이 행위의 주기는 0.1초가 된다.
이러한 신호는 에너지로써의 전기 뿐만 아니라 신호로써의 전기에도 똑같이 적용이된다. 자 다음 챕터부터는 전기 신호에 대해서 한번 생각해보겠다.
2. 임피던스(Impedance) 와 공진주파수(Resornance)
* 이번 챕터에서는 전기라 하지 않고 신호라 하겠다.
2-1. 임피던스
교류 회로에서는 이 신호의 주파수 특성으로 인해 저항이 아닌 임피던스 라는 개념이 발생한다. 그리고 이 임피던스는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$ Z = R + \frac{ 1 }{ j \omega C } + j \omega L \cdots \cdots (1) $
그리고 capacitive reactance와 lnductive reactance는 각각 아래와 같이 쓴다.
$ X_C = \frac{ 1 }{ j \omega C } $
$ X_L = j \omega L $
여기서 $\omega$ 는 각 주파수이며 $ 2\pi f $ 를 의미한다고 설명했다. 즉 회전운동의 주기성을 의미하는 변수다. 지난 포스팅에서 임피던스와 주파수의 관계에 대해 얘기했었다.
2-2. 공진 주파수
식 (1)에서 $\omega$ 가 0에 근접한다고 생각해보자. 그러면 가운데 $X_C$의 값이 무지막지하게 커질 것이다. 주파수 성분이 분모에 있기 때문이다. 예를 들면, $ \frac{1}{0.01} $ 같은 수를 생각해보자. 계산하면 이 값은 100 이다. 즉 주파수가 낮을수록 회로에서 커패시터의 저항 성분이 지배적이다 라는 뜻이다. 이를 그래프로 그려보면 다음과 같은 모양이 된다.
그렇다면 식(1)에서 주파수 성분이 커지면 어떻게 될까? $X_L$ 값이 매우 커지며 인덕터의 저항 성분이 회로에서 지배적으로 동작할 것이다. 다음 그림을 보자.
즉 커패시터와 인덕터는 주파수에대해 이와같이 동작하는 성질을 가졌다. 그렇다면 이 인덕터와 커패시터가 동시에 존재하는 회로에서는 어떻게 동작할까? 다음과 같은 RLC 직렬 회로를 생각해보자.
그렇다면 이 커패시터와 인덕터의 특성에 의해서 주파수 변화에 따라 회로의 리액턴스 성분은 아래 그래프처럼 변할 것이다. 그리고 가운데 오목한 $f_r$ 지점을 볼 수 가 있다. 이것을 바로 공진 주파수(Resornance Frequency) 라고 한다.
공진주파수는 커패시터의 저항성분과 인덕터의 저항성분이 같아 최소가 되는 지점 이다. 즉 식으로 나타내면 다음과 같다.
$ X_C = X_L $
$ \frac{1}{ j \omega C } = j \omega L $
$ \frac{1}{ j \cdot 2 \pi f \cdot C } = j \cdot 2 \pi f \cdot L $
이를 주파수에 대해 정리하면
$ f_r = \frac{1}{ 2 \pi \sqrt{LC} } Hz $ 가 된다. 즉 이 공진 주파수에서 회로의 저항 성분이 최소가 되어 신호가 가장 강하게 나타난다는 의미다. 아래 그림처럼 말이다.
3. 아날로그 라디오, TV의 원리
필자는 어렸을 적 아날로그 브라운관 TV를 사용했다. 날씨가 좋지 않거나 하면 티비가 지직거리면서 노이즈가 끼고 싱크도 맞지 않는 등의 현상이 발생했고, 옥상에 올라가서 안테나 방향을 이리저리 바꾸곤 했다.
자 그러면 아날로그 라디오와 TV는 어떻게 전파를 수신하는 걸까? 어떻게 다이얼을 바꾸면 채널을 바꾸는걸까? 답은 바로 이 '공진 주파수' 에 있다.
이 아날로그 TV와 라디오에는 공통적으로 '다이얼' 이라는게 존재해 저 다이얼을 따다닥 하고 돌리면 채널이 변했다. 라디오에서는 좀 더 직관적으로 수신 주파수를 가리키는 바늘이 움직이는 것을 볼 수 있다. 이는 '가변 커패시터' 를 조절하는 것으로 가변 커패시터는 다음 사진을 통해 한번 보자.
작은 금속 판이 여러개가 붙어있다. 우리가 다이얼을 돌리면이 판들이 마주보는 정도가 변한다. 커패시터 포스팅에서 커패시터의 특성은 전하(전기)를 저장하는 것이며 이는 마주보는 금속 판 크기에 비례한다고 했다. 즉 마주보는 판의 마주보는 정도를 조절하면 커패시터에 저장되는 전하량이 변하는 것이다.
자그러면 우리는 커패시턴스를 변경할 수 있게 되었다. 이것과 주파수가 어떤 관련이 있을까? 위의 설명을 다시 생각해보자. 공진 주파수는 커패시턴스와 인덕턴스가 같아 저항성이 가장 작은 지점을 의미한다고 했다. 즉 커패시턴스를 조절하는 것으로 우리는 공진주파수를 변경할 수 있게되고, 우리가 관심있는 주파수 대역을 선택할 수 있게 되는것이다.
정말 신기하지 않은가? :)
2-3 RLC 탱크(병렬) 회로