푸리에 변환(fourier transform)

 

 

 이전 시간에 우리는 푸리에 급수에 대해 공부해보았다. 푸리에 급수를 통해 우리는 타임 도메인과 주파수 도메인이 서로 선형 사상 관계임을 알 수 있었다. 또한 어떤 주기적인 신호는 주기적인 정현파들의 합으로 나타낼 수 있는것을 확인했다.

 그럼 비주기적인 신호도 할 수 있을까? 이 글에서 이에 대한 정답을 알려줄 것이다. 푸리에 변환 또한 시간$\leftrightarrow$주파수 도메인의 변환을 수행할 수 있지만, 푸리에 변환은 좀더 깊은 의미가 있다. 자 그럼 시작해보자.

 

1. 서론

1-1. 푸리에 급수의 한계점

* 본 포스팅에는 사실과 다른점이 있을 수 있음(푸리에에 대한 필자의 상상력)

 우리는 푸리에 급수가 매우 유용한 도구가 될 수 있음을 확인했다. 실제로 마지막에는 정현파를 이용해 사각파를 근사했다. 처음에는 전혀 다른 모양이었지만 항의 차수가 올라갈수록 파형의 모양이 점점 비슷해지는것을 알 수 있었다. 그러나 푸리에 급수는 '주기적인 신호'에 대해서만 근사를 제공할 뿐 '비주기적 신호'에 대해서는 다루지 않았다.

 우리 일상에 존재하는 많은 신호들은 비주기적 신호다. 푸리에 급수만으로 이러한 비주기적 신호를 다루기에는 한계가 존재했고 그래서서 푸리에는 골똘히 생각했다. 그리곤 그의 뛰어난 직관으로 한가지 묘수를 내었다.

주기가 없으면 신호의 처음부터 끝을 한 주기로 보면 되는거 아닌가?

 아주 무릎을 탁 치면서 유레카! 하고 아르키메데스가 무덤에서 뛰쳐나올만한 씽크빅이다. 푸리에 변환은 바로 이 아이디어에서 출발한다.

 

1-2. 비주기적 신호

 비주기적 신호란 주기적으로 반복되지 않는 모든 신호다. 우리가 일상에서 마주하는 신호의  99.9% 는 비주기적 신호다.(필자의 생각) 다음 그래프를 보자.

비주기적 신호

아주 제멋대로 생겼다. 우리는 이런 신호를 주파수로 분해하고싶은 것이다. 어떤 규칙이 있어보이는가? 필자눈에는 별 다른 규칙이 있어보이지는 않는다.

 

 2. 푸리에 변환

 앞전에 논의했던 푸리에 시리즈와 크게 달라지는 것은 없다. 다만 주기가 음의 무한대에서 양의 무한대로 바뀔 뿐이다. 푸리에 시리즈의 공식은 다음과 같았다.

$ \begin{align}
f(t)
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ a_k \cdot cos \left ( k \omega t \right ) + b_k \cdot sin \left ( k \omega t \right ) \right ] \\ \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot e^{jk \omega t}
\end{align} $ 

$ where $

$ \begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t \\ \\
a_k &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( k \omega t ) \mathrm{d} t \\ \\
b_k &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( k \omega t ) d t \\ \\
c_k &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt
\end{align} $

 

2-1. 주기가 무한대인 신호

자 이제 우리는 주기$T$를 무한대로 보낼것이다. $ T \rightarrow \infty $

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} f(t) = \displaystyle \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot e^{jk \omega t}
\end{align} $

$where$

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} c_k = \displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt
\end{align} $

주기 신호에 대해 $ \begin{align} \int_{0}^{T} = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \end{align} $ 이므로 

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} c_k = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt
\end{align} $

다양한 유도방법이 있을 수 있는데, 두 가지 정도 소개해볼까 한다. 유도방법이 다르다해도 모두 개념적으로 같은 의미다.

 

2-2. 푸리에 변환(Fourier Transform) 유도하기

$i)$  전파거북이 선생님의 유도방법

 전파 거북이 선생님은 어떤 신호 $f(t)$에 대한 푸리에 변환 $F(t)$를 다음과 같의 유도했다.

$ \begin{align}
F(t) &= \displaystyle \lim_{T \to \infty} T \cdot c_k \\\\
&= \displaystyle \lim_{T \to \infty} \int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \\\\
&= \displaystyle \lim_{T \to \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \\\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt \\\\
&\because \omega = \displaystyle \lim_{T \to \infty} k \cdot \omega_0
\end{align} $

 

 굉장히 직관적인 방법이 아닐 수 없다. 다만 여기서 $ \omega_0 $는 푸리에 급수 식의 $ \omega $다. 구분을위해 $ \omega_0 $ 으로 작성했다.

 푸리에 변환을 이해하기 위해 이제 우리는 이산적인 값에서 벗어나 연속적인 값을 상상할 수 있어야한다. 잘 생각해보자. $ \omega = 2 \pi f = 2 \pi / T $ 라는 공식을 필자가 수도없이 강조해왔다. 그렇다면 다음 식 $\begin{align} k \frac{2 \pi}{T} \end{align} $의 의미는 무엇일까?

 독자 여러분들은 고조파(harmonics)에 대해 알고있는가? 이는 어떤 주기 T 에 대해서 정수배로 이루어지는 주파수들의 집합을 의미한다. 따라서  $ \begin{align} k \frac{2 \pi}{T} \end{align} $는 어떤 주기 T에 대해 어떤 고조파 성분을 의미한다. 

 자 이제 주기 $T$ 무한대로 간다고 상상해보자. $ \begin{align} \displaystyle \lim_{T \to \infty} \omega = \displaystyle \lim_{T \to \infty}  k \frac{2 \pi}{T} \end{align} $ 이며, 주기 $T$가 커짐에 따라서 주파수 $f$도 무한대로 증가한다.(정의에 의해 주기가 분모에 있기 때문에) 이에 따라 주기가 이산적으로 일정하게 정해져 있었던 주파수가 점차 연속적인 주파수 범위로 변해간다. 따라서 이산적(Discrete)이었던 푸리에 급수에서 연속적인 푸리에 변환으로 변한다. 주파수가 무한대로 커져감에 따라 어떤 특정 주기를에 대해서만 표현할 수 있었던 수식이 이제는 거의 모든 신호를 나타낼 수 있게 되는 것이다.

 

$ii)$ 공돌이의 수학정리노트 선생님의 유도방법

 이 방법은 좀더 수식적으로 명시적이다. 어떤 독자들에게는 위의 직관적인 방법보다 이해가 쉬울 수 있다. 한번 보자.

(한동안 몬스터헌터 와일즈에 빠져서 포스팅을 깜빡하고있었다..)

2-1을 참고하면 다음 식을 유도할 수 있다.

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} f(t) &= \displaystyle \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left [ \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \right ] \cdot e^{jk \omega t} \\\\
&= \displaystyle \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \right ] \cdot e^{jk \omega t} \cdot \frac{1}{T}
\end{align} $

어디서 많이 보던 식이아닌가? 바로 정적분 식이다.

그렇다면 이제 우리는 정적분의 정의에 의해 다음과 같이 생각할 수 있다. $ T \to \infty $ 므로

$\begin{align} \frac{1}{T} &= df \\\\
\frac{k}{T} &= f \\\\ 
\frac{T}{2} &= \infty \\\\
-\frac{T}{2} &= -\infty \end{align} $

그렇다면 위 식의 대괄호 [] 안의 식을 다음과 같이 볼 수 있다.

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \right ]
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt
\end{align} $

 

그리고 이것을 원 신호 $ f(t) $에 대한 푸리에 변환 $ X(f) $ 로 정의했다. 즉

$ \begin{align}
\displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt
\end{align} $

 

위 식을 원래 식에 대입해보면 다음 결론을 얻을 수 있다.

$ \begin{align}
\displaystyle \lim_{T \to \infty} f(t) 
&= \displaystyle \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt \right ] \cdot e^{jk \omega t} \cdot \frac{1}{T} \\\\
&= \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{jk \omega t} \cdot \frac{1}{T} \\\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{j \omega t} df
\end{align} $

정리하자면 다음과 같다.

$ \begin{align}
\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{j \omega t} df \\\\
\displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt
\end{align} $

 독자 여러분들은 영화 '해바라기'를 보았는가? 작중 오태식이가 수학을 가르치던 중 이런 질문을 받았다. "미분은 어떻게 하는거야?" 그러자 "미분 그거 적분 거꾸로 하는거야." 라고 대답했다. "그럼 적분은 어떻게 하는거야?" 라고 다시 묻자 "미분 거꾸로 하는거야" 라고 대답한다.  

위 식은 어떤가? 가만보면 뭔 뚱딴지같은 소리냐 라고 생각할 수 있다. 원 신호에 대해 적분 변환(선형 대수에 의하면 복소 평면으로의 mapping)을 하면 주파수 공간으로 사상이 되고, 또 주파수를 실수 평면으로 mapping하면 원 신호가 나온다니. 너무 당연한 소리를 하고 자빠졌다.

 실제로 푸리에는 이 때문에 당대 수학쟁이들에게 많은 비판을 받았다고 한다. 왜냐면 수학쟁이들은 엄밀한 정의를 좋아하기 때문이다. 수학쟁이들 눈에 이것은 "고무장갑을 뒤집으면 뒤집은 고무장갑이 됩니다. 근데 뒤집은 고무장갑을 다시 뒤집으면 원래 고무장갑으로 돌아와요" 뭐 이런 소리로 들렸을 것이다.

 하지만 시간이 흐르며 이는 신호처리와 전자공학의 근간이자 정수로 재해석되었고, 우리 현실세계의 모든 신호를 다루는 분야(음향, 라디오, 영상, 컴퓨터, 무선 등등)에 적용되기 시작했다.

* 푸리에 변환 기호는 교재나 강의자에따라 $ F(\omega), X(\omega), X(f)$ 등등 다양하게 표현될 수 있다.

 

3. 푸리에 변환의 성질

3-1. 선형성

푸리에 변환은 선형 변환이다. 선형대수에서 선형 변환이란 다음을 만족함을 의미한다. 임의의 신호 $x_1(t), x_2(t)$에 대해

$ ax_1(t) + bx_2(t) = aX_1(f) + bX_2(f) $

 

3-2. 쌍대성

 

3-3. 대칭성

등등..

 

4. 참조

https://ghebook.blogspot.com/2012/08/fourier-transform.html

형보다 나은 아우: 푸리에 변환(Fourier Transform)

https://angeloyeo.github.io/2019/07/07/CTFT.html

푸리에 변환(Fourier Transform) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)

https://ghebook.blogspot.com/2020/10/properties-of-fourier-transform.html

푸리에 변환의 성질(Properties of Fourier Transform)