푸리에 급수(Fourier Series)

 

 

신호처리의 핵심이자 전자공학의 핵심중의 하나인 푸리에 글을 연재해보고자 한다.

아마도 한 5부작 정도가 되지 않을까 하는데 다음 순서로 연재해볼 계획이다.

• 테일러, 매클로린 시리즈
• 라플라스 변환
• 푸리에 시리즈
• 푸리에 변환
• 이산 푸리에 변환 & 고속 푸리에 변환

이 포스팅을 이해하려면 기본적인 선형 대수와 미분-적분과 함수에 대한 기초 지식이 필요하다.

 

1. 배경 지식

1-1 푸리에란 누구인가

푸리에 초상화

 장바티스트 조제프 푸리에 남작 (프랑스어: Jean-Baptiste Joseph Fourier IPA: [ʒɑ̃ batist ʒozɛf fuʁje], 1768년 3월 21일 - 1830년 5월 16일)은 프랑스의 수학자이자 물리학자이다.

고체 내에서의 열전도에 관한 연구로 열전도 방정식(푸리에 방정식)을 유도하였으며, 이 방정식을 풀기 위해서 푸리에 해석으로 불리는 이론을 전개했다. 푸리에 해석은 복잡한 주기함수를 보다 간단하게 기술기 위해, 소리나 빛 등 파동의 연구에 넓게 이용되며 현재 조화 해석이라고 하는 수학의 한 분야를 형성하고 있다.

이 외에도 방정식론이나 방정식의 수치 해법을 연구했으며, 차원 해석의 창시자로 여겨지기도 한다. 또 통계국에 근무할 당시의 경험을 토대로 확률론이나 오차론의 연구도 실시했다.

from wikipedia

 추가로, 푸리에는 라그랑주 변환으로 유명한 라그랑주, 또 라플라스 변환으로 유명한 라플라스의 제자이기도 하다. 푸리에가 이러한 독창적인 푸리에 해석을 내놓은것도 우연이 아니라 라플라스의 영향이 컸으리라 하고 짐작해볼 수 있다.(실제로 푸리에 변환과 라플라스 변환은 관점이 약간 다를 뿐 매우 유사하다)

 

1-2. 함수의 주기성

 푸리에 시리즈를 이야기하기 전에 우리는 함수의 주기성에 대해 먼저 애기해야한다.

Sin 함수의 그래프

 코사인 그래프가 $y$축을 기준으로 대칭이기 때문에 좀더 직관적이지만, 코사인 애니메이션 그림을 구하지 못했기 때문에 $\sin$ 함수로 생각해보자. 사실 크게 다를건 없다.

 중-고등학교 교과과정에서 우리는 sin 함수를 $ \begin{align} sin \theta = \frac{ y }{ r } \end{align} $ 로 정의했다. 원 위에서 반지름에 대한  $x$의 위치를 표현한 것이다. 우리는 이제 오른쪽 $\sin$ 그래프의 $x$축을 시간을 의미하는 $t$ 축이라고 하자. 그러면 이제 $\sin$ 함수는 시간에 따른 회전운동을 나타내는 놀라운 그래프가된다.

  시간을 변수로 가지는 어떤 함수를 $ f(t) $ 라고 하자. 주기적인 어떤 함수는 말 그대로 '주기(period)'를 가지고있다. 즉 일정한 주기를 지나면 같은 모양을 반복한다. 기본 삼각함수에서는 이 주기가 $ 2 \pi $ 다.

 이제 이러한 한번의 주기를 $ T $라 하자. 그러면 어떤 $f(t)$ 로부터 $T$ 시간 후의 값은 $ f(t-T) $ 이며 $ f(t-T) = f(t) $ 라 할 수 있다. ( $ \sin{ \left ( 0 \right ) } $ 과 $ \sin{ \left ( 2 \pi \right ) } $ 를 생각해보라 ) 반대 주기에 대해서도 같은 논리가 성립한다. 즉 $ f(t) = f(t+T) $ 이다.

 또한 기함수에 대해서는 $ f(-t) = -f(t) $ 도 성립한다. ($\begin{align} \sin{ \left ( -\frac{\pi}{2} \right ) } \end{align} $ 와 $ \begin{align} -\sin{ \left ( \frac{\pi}{2} \right ) } \end{align} $ 을 생각해보라)

 우함수의 경우에는 $ f(t) = f(-t) $ 가 성립한다.

 

1-3. 각주파수 $\omega$

 신호처리에서는 $ \omega $가 어디에서나 등장한다. 푸리에 씨리즈에서도 $ \omega $가 등장한다. 따라서 이를 정확하게 이해할 필요가 있다. $ \omega $는 각주파수로 $ \omega = 2 \pi f $ 와 같다. 이때 $ f $ 는 주파수로 주기의 역수이다. 좀 더 자세하게 표현해보자면 다음과 같다.

$ \begin{align} \omega = 2 \pi f = \frac{ 2 \pi }{ T } \end{align} $

 이게 과연 어떤 의미일까? $ 2 \pi $ 는 단위원의 둘레를 나타낸다. 이 둘레를 주기 T로 나누면 이건 어떤 의미일까? 바로 단위시간 당 회전하는 거리를 의미한다. 예를 들어보자.

주기가 4초인 사인 함수를 생각해보자. 그러면 한번 주기가 완료되려면 4초가 필요하다는 말과 같다. 이때 $ 2 \pi $를 주기 $ T $ 로 나누면 초당 얼마나 회전하는 지 알 수 있다. 즉
$ \begin{align} \sin \left (2 \pi f \right ) &= \sin \left ( \frac{ 2 \pi }{ T } \right ) \text{ if } T=4, \\ &= \sin \left ( \frac{ 2 \pi }{ 4 } \right ) \\ &= \sin \left ( \frac{ \pi }{ 2 } \right ) \end{align} $
와 같다. $ \pi / 2 $ 는 $ 90^{\circ} $ 이므로 1초에 $ 90^{\circ} $ 회전하는 원운동 또는 2초에 반주기가, 4초에 한주기가 완료되는 사인함수를 어렵지 않게 상상해볼 수 있다. 필자가 다음 그래프를 한번 그려보았다 :).

주기 4인 sin 함수 그래프

 자 이제 그러면 우리는 어떤 임의의 주기 $T$를 가지는 사인함수 $f(t)$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$ f(t) = \sin \left ( 2 \pi f t \right ) = \sin \left( \omega t \right ) $ 

 

1-4. 삼각 함수의 적분

 이 부분은 굳이 자세하게 다룰 필요가 없으므로 짧게 다루고 넘어가겠다. 삼각 함수를 주기에 대해 정적분을 취하면 0이 된다. 사인함수와 코사인 함수의 그래프를 생각해보라.

$ \begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ( \omega t ) \mathrm{d} t = 0 \end{align} $

$ \begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \cos ( \omega t ) \mathrm{d} t = 0 \end{align} $

주기 함수의 적분

 한 주기에 대해 적분을 취한다는 것은 한 주기의 넓이를 구한다는것과 같다. 즉 0이 된다. 실제로 적분을 풀면

$ \begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \sin \left ( \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= -\frac{1}{\omega} \left [ \cos \left ( \omega t \right )  \right ]^{2 \pi}_{0} \\ \\
&= -\frac{1}{\omega} \left ( \cos \left ( \omega \cdot 2 \pi \right ) - \cos \left ( \omega \cdot 0 \right ) \right ) \\ \\
&= \frac{1}{\omega} \left ( 1 - 1 \right ) \\ \\
&= 0
\end{align} $

$ \begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \cos \left ( \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \frac{1}{\omega} \left [ \sin \left ( \omega t \right )  \right ]^{2 \pi}_{0} \\ \\
&= \frac{1}{\omega} \left ( \sin \left ( \omega \cdot 2 \pi \right ) - \sin \left ( \omega \cdot 0 \right ) \right ) \\ \\
&= \frac{1}{\omega} \left ( 0 - 0 \right ) \\ \\
&= 0
\end{align} $

* $ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \end{align} $ 구간에 대해 정적분을 수행해도 한 주기이므로 똑같이 0이 된다.

(수식이 길어지니까 너무 복잡하고 수정하기가 힘들다..)

 

1-5. 삼각 함수의 직교성

 임의의 서로다른 정수 배수 주파수 m, n을 가지는 두 삼각함수는 직교한다. 따라서 내적(곱을 적분)하면 0이 된다. 말이 필요 없다 다음 식을 보자.

* 이제부터 $ 2 \pi $ 대신 주기 $ T $ 구간에 대해 적분하겠다. 의미는 같다.

$ \text{ if } m \neq n $

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} \sin \left ( m \omega t \right ) \cdot \sin \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} -\frac{1}{2} \left\{ \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) - \cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \right \} \mathrm{d} t \\ \\
&= -\frac{1}{2} \int_{0}^{T} \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t  + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= -\frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m+n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{T} \\ \\ &\quad \quad + \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m-n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m-n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{T} \\ \\
&= 0
\end{align} $

$ \text{ if } m = n $

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} \sin \left ( m \omega t \right ) \cdot  \sin \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} \sin^2 \left ( m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{T} \frac{ 1 - \cos \left ( 2m \omega t \right ) }{2} \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{T} \frac{1}{2} \mathrm{d} t - \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \cos \left ( 2m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \frac{T}{2}
\end{align} $

코사인의 경우도 결과는 같다.

$ \text{ if } m \neq n $

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} \cos \left ( m \omega t \right ) \cdot \cos \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} \frac{1}{2} \left\{ \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) + \cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \right \} \mathrm{d} t \\ \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t  + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m+n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{T} \\ \\
&\quad \quad + \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m-n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m-n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{T} \\ \\
&= 0
\end{align} $

$ \text{ if } m = n $

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} \sin \left ( m \omega t \right ) \cdot  \sin \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} \sin^2 \left ( m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{T} \frac{ 1 + \cos \left ( 2m \omega t \right ) }{2} \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{T} \frac{1}{2} \mathrm{d} t + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \cos \left ( 2m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \frac{T}{2}
\end{align} $

 

 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 생각해보면 $ \sin \cdot \cos$, $ \cos \cdot \sin$의 경우도 결과는 같다.

 

1-5-2. $ T $ 대신 $ 2 \pi $를 쓴 원본

$ \begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \sin \left ( m \omega t \right ) \cdot  \sin \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{2 \pi} -\frac{1}{2} \left\{ \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) - \cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \right \} \mathrm{d} t \\ \\
&= -\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \cos \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t  + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} cos \left ( \left ( m - n \right ) \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= -\frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m+n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m + n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{2 \pi} \\ \\
&\quad \quad + \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{ \left ( m-n \right ) \omega } \right ) \sin \left ( \left ( m-n \right ) \omega t \right ) \right ]_{0}^{2 \pi} \\ \\
&= 0
\end{align} $

$ \begin{align}
\int_{0}^{2 \pi} \sin \left ( m \omega t \right ) \cdot  \sin \left ( n \omega t \right ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{2 \pi} \sin^2 \left ( m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \frac{ -1 + \cos \left ( 2m \omega t \right ) }{2} \mathrm{d} t \\ \\
&= \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \mathrm{d} t - \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \cos \left ( 2m \omega t \right ) \mathrm{d} t \\ \\
&= \pi
\end{align} $

 

1-6. 오일러 공식

 오일러 이름이 들어간 공식은 수없이 많지만 아마도 가장 유명한 오일러 공식은 이것일 것이다.

$ e^{j \omega t} = \cos{ \left ( \omega t \right ) } + j \sin{ \left ( \omega t \right ) } $

 상세한 증명은 범위를 벗어나므로 생략하도록 하겠다. 또 다음을 유도할 수 있다.

$ \begin{align}
\cos \left ( \omega t \right ) = \frac { e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} }{2}
\end{align} $

$ \begin{align}
\sin \left ( \omega t \right ) = \frac { e^{j \omega t} - e^{-j \omega t} }{2j}
\end{align} $

 

1-7. 시간(時間)과 주파수(周波數)

 이제 우리는 시간과 주파수를 넘나드는 계산들을 수행할 것이다. 그러기전에 먼저 시간 도메인과 주파수 도메인에 대해 감을 잡아보자. 시간 도메인이란 시간에 대해 신호가 어떤 움직임을 그리는지를 나타내는 공간을 뜻한다. 마찬가지로 주파수 도메인이란 이러한 신호를 주파수상에 나타냇을때를 의미한다. 

 아래 그래프를 보자. 먼저 2Hz 의 주파수를 가지는 $sin$ 그래프다. 지금까지 여러번 설명했지만, 2Hz라 하면 주기는 0.5가 된다. 1초에 2번, 0.5초에 한번 주기가 완료되기 때문이다.

2Hz sin 신호

 이를 주파수 도메인의 그래프로 나타내면 다음과 같다.

2Hz sin 신호

 아주 간단하게 2Hz의 크기를 가지는 그래프를 표현할 수 있다.(미리 말하자면 이 그래프는 반쪽이 그래프지만, 이는 나중에 DFT 에서 설명하겠다) 즉 앞으로 우리는 이러한 시간과 주파수 영역에 대한 이해 그리고 linear mapping 과정에 대해 논의할 것이다.

 

2. 푸리에 급수(Fourier Series)

2-1. 푸리에 급수 표현하기

 이제부터는 신호와 주파수라는 눈에보이지 않는 어떤 추상적인 개념(전자공학이 그렇다)을 가지고 논리를 진행할 것이다. 처음에는 당연히 이해가 어려울 수 있다. 이 글을 보는 독자들도 한번 직접 유도해보길 바란다.

선형 대수로 돌아가보자. 두 개의 기저(basis) 벡터가 있으면 벡터 공간에서 모든 벡터를 표현할 수 있다. 기저 벡터가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

• 선형 독립성
• 직교성
• 완비성

 $sin$ 함수와 $cos$ 함수는 서로 선형 독립이다. 따라서 선형 독립을 만족한다. 또한 내적이 0이 되는것을 통해 직교성 또한 만족함을 확인했다.

 이제 푸리에는 놀라운 그의 직관을 발휘한다. 정현파로 표현한 벡터 공간에서 모든 벡터는 $sin$ 함수와 $cos$ 함수의 선형 결합으로 나타낼수 있다는 것이다. 즉, $sin$ 함수와 $cos$ 함수가 완비성을 만족한다는 의미와 같다. 이는 식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$ \begin{align}
f(t) =
a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ a_k \cos \left ( k \omega t \right ) + b_k \sin \left ( k \omega t \right ) \right ]
\end{align} $ 

 좀 더 쉽게 설명하자면 $sin$ 함수와 $cos$ 함수가 벡터 공간의 기저 벡터이며 따라서 주기를 가지는 임의의 신호는 모두 $sin$ 함수와 $cos$ 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다는 말과 같다.

 오일러 식을 위 식에 대입해 변형하면 다음과 같은 결과를 확인할 수 있다.

$ \begin{align}
f(t)
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ a_k cos \left ( k \omega t \right ) + b_k sin \left ( k \omega t \right ) \right ] \\ \\
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left ( a_k \frac{e^{jk \omega t} + e^{-jk \omega t }}{2} + b_k \frac{e^{jk \omega t} - e^{-jk \omega t }}{2j} \right ) \\ \\
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left ( \frac{a_k - b_k}{2}e^{jkwt} + \frac{a_k + b_k}{2}e^{-jkwt} \right ) \\ \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk \omega t}
\end{align} $ 

 

$c_k$는 각 범위에 대해서 다음과 같은 값을 갖는다.

$ c_k = \begin{cases} \begin{align}
 & \frac{a_k + jb_k}{2}, &\text{ if } k < 0 \\ \\
 & a_0, &\text{ if } k = 0 \\ \\
 & \frac{a_k - jb_k}{2},  &\text{ if } k > 0
\end{align} \end{cases}  $

 

2-2. $a_0, a_k, b_k, c_k$ 구하기

 $a_0$에 대해 이해해보자. 

$ i) \, a_0$ 구하기

 푸리에 시리즈의 양 변을 주기에 대해 적분하면

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} a_0 \mathrm{d} t
+ \int_{0}^{T} \left ( \sum_{k=1}^{\infty} \left [ a_k cos \left ( k \omega t \right ) + b_k sin( k \omega t ) \right ] \right ) \\ \\
&= a_0 T \qquad \because \int_{0}^{T} cos(wt) dt = \int_{0}^{T} sin(wt) dt = 0
\end{align} $

$ \begin{align}
\therefore a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t
\end{align} $

$a_0$ 값이 원 신호의 적분 값으로 나왔다. 뭔가 볼일보고 뒷처리를 제대로 하지 않은 듯한 찝찝함이 남아있는듯 하다. 그러나 우리는 익숙해져야한다. 위 식에서 $a_0$는 신호의 한 주기 값을 주기로 나눈 평균값이다. 또 식을 보면 주파수 성분이 모두 제거된 것을 볼 수 있다. 즉 $a_0$는 어떤 주기 신호의 DC 성분을 나타낸다 볼 수 있다.

 

$ ii) \, a_k$ 구하기

 $a_k 와 b_k $ 는 앞서 우리가 얘기했던 삼각함수의 직교성을 응용해 구해볼 수 있다. 푸리에 급수 공식의 양 변에 $cos (n \omega t) $를 곱하고 주기에 대해 적분해보자.

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( n \omega t ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} a_0 \cdot cos ( n \omega t ) \mathrm{d} t \\ \\
\quad &+ \int_{0}^{T} \left ( \sum_{k=1}^{\infty} [ a_k \cdot cos ( k \omega t ) \cdot cos(n \omega t) + b_k \cdot sin( k \omega t ) \cdot cos (n \omega t) ] \right ) dt
\end{align} $

$ cos $ 함수를 주기에 대해 적분했으므로 $a_0$ 항은 0이되어 사라진다. 또한 $ sin과 cos $의 내적으로 $b_k$ 항도 0이되어 사라진다. 결과적으로 다음 식을 얻을 수 있다.

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( k \omega t ) \mathrm{d} t
= \sum_{k=1}^{\infty} \left ( \int_{0}^{T}  a_k \cdot cos ( k \omega t ) \cdot cos(n \omega t) dt \right )
\end{align} $

우리는 알고있다. 어떠한 사실을? 주파수가 같은 $cos$ 함수를 주기에 대해 내적하면 $T / 2$가 튀어나온다는 사실을. 즉 위 식에서 $ k=n $ 인 경우는 $ T / 2 $ 값을 가지고, 나머지 경우에는 모두 0이된다.

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( k \omega t ) \mathrm{d} t
= \left( \frac{T}{2} \right ) a_k
\end{align} $

$ \begin{align}
\therefore a_k
= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( k \omega t ) \mathrm{d} t
\end{align} $

 

$ iii) \, b_k$ 구하기

 $a_k$ 와 같은 방법으로 구할 수 있다. 양 변에 $sin(nwt)$를 곱하고 주기에 대해 적분하면

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( n \omega t ) \mathrm{d} t
&= \int_{0}^{T} a_0 \cdot sin ( n \omega t ) \mathrm{d} t \\ \\
\quad &+ \int_{0}^{T} \left ( \sum_{k=1}^{\infty} [ a_k \cdot cos ( k \omega t ) \cdot sin(n \omega t) + b_k \cdot sin( k \omega t ) \cdot sin(n \omega t) ] \right ) dt
\end{align} $

$ sin $ 함수를 주기에 대해 적분했으므로 $a_0$ 항은 0이되어 사라진다. 또한 $ cos와 sin $의 내적으로 $a_k$ 항도 0이되어 사라진다. 결과적으로 다음 식을 얻을 수 있다.

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( n \omega t ) \mathrm{d} t
= \sum_{k=1}^{\infty} \left ( \int_{0}^{T} b_k \cdot sin( k \omega t ) \cdot sin(n \omega t) dt \right )
\end{align} $

여기서도 같다. 우리는 주파수가 같은 $sin$ 함수를 주기에 대해 내적하면 $T / 2$가 튀어나온다는 사실을 알고있다. 즉 위 식에서 $ k=n $ 인 경우는 $ T / 2 $ 값을 가지고, 나머지 경우에는 모두 0이된다.

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( k \omega t ) \mathrm{d} t
= \left( \frac{T}{2} \right ) b_k
\end{align} $

$ \begin{align}
\therefore b_k
= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( k \omega t ) d t
\end{align} $

 

$ iv) \, c_k$ 구하기

$c_k$를 구하기 위해 우리는 복소 기저벡터를 내적해볼 수 있다.

$ \begin{align} f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk \omega t} \end{align} $

$ \begin{align}
\int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jp \omega t} dt
&= \int_{0}^{T} \left ( \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk \omega t} \right ) \cdot e^{-jp \omega t} dt \\ \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left ( \int_{0}^{T} c_k e^{jk \omega t} \cdot e^{-jp \omega t} dt \right ) \\ \\
&= Tc_k \\ \\
\end{align} $

$ \begin{align}
\therefore c_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt
\end{align} $

 

$ v) \, $ 요약

$ \begin{align}
f(t)
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left [ a_k \cdot cos \left ( k \omega t \right ) + b_k \cdot sin \left ( k \omega t \right ) \right ] \\ \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot e^{jk \omega t}
\end{align} $ 

 

$ \begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t \\ \\
a_k &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot cos ( k \omega t ) \mathrm{d} t \\ \\
b_k &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot sin ( k \omega t ) d t \\ \\
c_k &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot e^{-jk \omega t} dt
\end{align} $

 

 

2-3. 푸리에 급수의 의미 생각하기

 선형대수에서 선형 사상(linear mapping)은 어떤 한 도메인에서 또다른 도메인으로의 변환을 의미한다. 지금까지 전개한 푸리에 급수의 수식들은 이러한 선형 사상의 과정이다. 즉 원본 신호를 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 mapping 한 것이다. 푸리에 급수 & 푸리에 변환은 시간 도메인의 함수 f(t)를 주파수 도메인으로 mapping 한다.

 이는 time domain의 어떤 함수를 frequency domain의 함수들의 합으로 표현할 수 있으며 또한 frequency domain의 어떤 함수도 time domain의 함수의 합으로 표현할 수 있다는 의미다. 

 다름 그림은 실제 사각파를 푸리에 시리즈로 근사한 애니메이션이다.

푸리에 급수의 응용

 항의 수가 적을때는 사각파와 다른 정현파의 모습을 보인다. 하지만 항이 중첩될수록, 30개 정도 이상의 항이 중첩되면 사각파와 아주 유사한 형태를 보이는것을 알 수 있다.